☛ Comparaisons

Énoncé

Dans chacun des cas, comparer les deux nombres.
1. `\frac{1}{3^2}` et `\frac{1}{8^2}`
2.  \(\sqrt{\dfrac{1}{6}}\) et \(\sqrt{\dfrac{1}{5}}\)
3. \(\dfrac{1}{(-5)^3}\) et \(\dfrac{1}{(-3)^3}\)

Solution 

1. 

  \(\begin{align*}3\leq 8&\Leftrightarrow3^2\leq 8^2\text{ car la fonction carré est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow\frac{1}{3^2}\geq \frac{1}{8^2}\text{ car la fonction inverse est décroissante sur }[~0~;~+\infty~[\end{align*}\)

2.

 \(\begin{align*}5\leq 6&\Leftrightarrow\dfrac{1}{5}\geq \dfrac{1}{6}\text{ car la fonction inverse est décroissante sur }[~0~;~+\infty~[\\&\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{1}{5}}\geq \sqrt{\dfrac{1}{6}}\text{ car la fonction racine carrée est croissante sur }[~0~;~+\infty~[\end{align*}\)

3.

 \(\begin{align*}-5\leq -3&\Leftrightarrow(-5)^3\leq (-3)^3\text{ car la fonction cube est croissante sur }]~-\infty~;~0~]\\&\Leftrightarrow\dfrac{1}{(-5)^3}\geq \dfrac{1}{(-3)^3}\text{ car la fonction inverse est décroissante sur }]~-\infty~;~0~]\end{align*}\)